Степени и корни

Возведение в степень — бинарная операция, первоначально происходящая из многократного умножения натурального числа на самого себя. Обозначение a^b называют степенью с основанием a и показателем b.

Степень с натуральным показателем

Пусть n\in \mathbb{N}. Число c называется n-й степенью числа a, если c =\underbrace{a \cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n} (всего n сомножителей).

  • \displaystyle \left(ab\right)^n = a^nb^n
  • \displaystyle \left({a\over b}\right)^n = {{a^n}\over{b^n}}
  • \displaystyle a^na^m = a^{n+m}\!
  • \displaystyle \left. {a^n\over {a^m}} \right. = a^{n-m}
  • \displaystyle \left(a^n\right)^m = a^{nm}

Запись a^{n^m} не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности (a^n)^m \ne a^{(n^m)}, результат будет зависеть от последовательности действий, например, (2^2)^3=4^3=64, а 2^{2^3}=2^8=256. Принято считать запись a^{n^m} равнозначной a^{(n^m)}, а вместо (a^n)^m можно писать просто a^{nm}, пользуясь предыдущим свойством.

Возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, a^b\ne b^a, например, 2^5=32, но 5^2=25.

Если a>b и b>0, то имеет место неравенство: a^n>b^n.

Степень с целым показателем

Пусть k\in \mathbb{Z}, тогда:

     \begin{equation*} a^k = \begin{cases} a^{k}, & k>0\\ 1, & k=0, a \ne 0\\ \frac{1}{a^{|k|}}, & k<0, a \ne 0 \end{cases} \end{equation*}

Обратите внимание, что 0^k не определён при k\le 0.

Степень с рациональным показателем

Пусть k\in \mathbb{Z}, q\in \mathbb{N}, n\ne 1, a>0, тогда

    \displaystyle \begin{equation*} a^\frac{k}{q}=\sqrt[q]{a^k} \end{equation*}

Арифметический корень

Арифметический корень n-й степени неотрицательного числа a — это такое неотрицательное число b, что b^n=a.

Имеют место следующие свойства арифметического корня:

  • \displaystyle \sqrt{a^2}=|a|, где a\in \mathbb{R}.
  • \displaystyle \sqrt{a\cdot b}=\sqrt{|a|}\cdot\sqrt{|b|}, где a\cdot b\ge 0.
  • \displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt |a|}{\sqrt |b|}, где \displaystyle \frac{a}{b}\ge 0.
  • \displaystyle \sqrt{b^2\cdot a}=|b|\cdot\sqrt{a}, где a\ge 0.

Если \sqrt[n]{a}=b, то:

  • \displaystyle b^n = a, a\ge 0, b\ge 0
  • \displaystyle \sqrt[n]{\sqrt[k] a}=\sqrt[nk]{a}
  • \displaystyle \sqrt[n]{a^k}=\left(\sqrt[n] a\right)^k

Примеры: \sqrt[3]{27}=3; \sqrt[7]{0.0000001}=0.1; \sqrt[5]{1024}=4; 2<\sqrt[3]{9}<3; 0.2<\sqrt[5]{0.0036}<0.3; \sqrt[3]{0.008}=0.2.

Сравнения, связанные с корнями

  • Если a>b\ge 0, то \sqrt[n] a > \sqrt[n] b.
  • \sqrt[n] a + \sqrt[n] b \ge \sqrt[n]{a+b}.
  • Если a>1, то \sqrt[n] a >1 и \sqrt[n] a < a.
  • Если 0<a<1, то 0<\sqrt[n] a < 1 и \sqrt[n] a > a.

Вернуться назад...

МЕТКИ >, , , ,

Оставить отзыв