Татьяна Мельничук | Степени и корни

Степени и корни

Возведение в степень — бинарная операция, первоначально происходящая из многократного умножения натурального числа на самого себя. Обозначение $a^b$ называют степенью с основанием $a$ и показателем $b$ .

Степень с натуральным показателем

Пусть $n\in \mathbb{N}$ . Число $c$ называется $n$ -й степенью числа $a$ , если $c =\underbrace{a \cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n}$ (всего $n$ сомножителей).

$\displaystyle \left(ab\right)^n = a^nb^n$
$\displaystyle \left({a\over b}\right)^n = {{a^n}\over{b^n}}$
$\displaystyle a^na^m = a^{n+m}\!$
$\displaystyle \left. {a^n\over {a^m}} \right. = a^{n-m}$
$\displaystyle \left(a^n\right)^m = a^{nm}$

Запись $a^{n^m}$ не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности $(a^n)^m \ne a^{(n^m)}$ , результат будет зависеть от последовательности действий, например, $(2^2)^3=4^3=64$ , а $2^{2^3}=2^8=256$ . Принято считать запись $a^{n^m}$ равнозначной $a^{(n^m)}$ , а вместо $(a^n)^m$ можно писать просто $a^{nm}$ , пользуясь предыдущим свойством.

Возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, $a^b\ne b^a$ , например, $2^5=32$ , но $5^2=25$ .

Если $a>b$ и $b>0$ , то имеет место неравенство: $a^n>b^n$ .

Степень с целым показателем

Пусть $k\in \mathbb{Z}$ , тогда:

$\begin{equation*} a^k = \begin{cases} a^{k}, & k>0\\ 1, & k=0, a \ne 0\\ \frac{1}{a^{|k|}}, & k<0, a \ne 0 \end{cases} \end{equation*}$

Обратите внимание, что $0^k$ не определён при $k\le 0$ .

Степень с рациональным показателем

Пусть $k\in \mathbb{Z}$ , $q\in \mathbb{N}$ , $n\ne 1$ , $a>0$ , тогда

$\displaystyle \begin{equation*} a^\frac{k}{q}=\sqrt[q]{a^k} \end{equation*}$

Арифметический корень

Арифметический корень $n$ -й степени неотрицательного числа $a$ — это такое неотрицательное число $b$ , что $b^n=a$ .

Имеют место следующие свойства арифметического корня:

$\displaystyle \sqrt{a^2}=|a|$ , где $a\in \mathbb{R}$ .
$\displaystyle \sqrt{a\cdot b}=\sqrt{|a|}\cdot\sqrt{|b|}$ , где $a\cdot b\ge 0$ .
$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt |a|}{\sqrt |b|}$ , где $\displaystyle \frac{a}{b}\ge 0$ .
$\displaystyle \sqrt{b^2\cdot a}=|b|\cdot\sqrt{a}$ , где $a\ge 0$ .

Если $\sqrt[n]{a}=b$ , то:

$\displaystyle b^n = a, a\ge 0, b\ge 0$
$\displaystyle \sqrt[n]{\sqrt[k] a}=\sqrt[nk]{a}$
$\displaystyle \sqrt[n]{a^k}=\left(\sqrt[n] a\right)^k$

Примеры: $\sqrt[3]{27}=3$ ; $\sqrt[7]{0.0000001}=0.1$ ; $\sqrt[5]{1024}=4$ ; $2<\sqrt[3]{9}<3$ ; $0.2<\sqrt[5]{0.0036}<0.3$ ; $\sqrt[3]{0.008}=0.2$ .