

Степени и корни
Возведение в степень — бинарная операция, первоначально происходящая из многократного умножения натурального числа на самого себя. Обозначение называют степенью с основанием
и показателем
.
Степень с натуральным показателем
Пусть . Число
называется
-й степенью числа
, если
(всего
сомножителей).
Запись не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности
, результат будет зависеть от последовательности действий, например,
, а
. Принято считать запись
равнозначной
, а вместо
можно писать просто
, пользуясь предыдущим свойством.
Возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, , например,
, но
.
Если и
, то имеет место неравенство:
.
Степень с целым показателем
Пусть , тогда:
Обратите внимание, что не определён при
.
Степень с рациональным показателем
Пусть ,
,
,
, тогда
Арифметический корень
Арифметический корень -й степени неотрицательного числа
— это такое неотрицательное число
, что
.
Имеют место следующие свойства арифметического корня:
, где
.
, где
.
, где
.
, где
.
Если , то:
Примеры: ;
;
;
;
;
.
Сравнения, связанные с корнями
- Если
, то
.
.
- Если
, то
и
.
- Если
, то
и
.