Татьяна Мельничук | Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона.

Данные формулы позволяют не только сократить промежуточные вычисления, но также они используются для разложения многочленов на множители, что, в свою очередь, существенно облегчает решение алгебраических уравнений.

Формулы для квадратов

Формулы для квадратов используются чаще всего.

$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$
$~a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
$\left( a + b + c \right)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$
$\left(a-b-c\right)^2 = a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc$

Формулы для кубов

$(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$
$~a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
$\left( a + b + c \right)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3ab^2 + 3ac^2 + 3b^2c + 3bc^2 + 6abc$

Формулы для четвёртой степени

$(a\pm b)^4=a^4\pm 4a^3b+6a^2b^2\pm 4ab^3+b^4$
$~a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$ (выводится из $a^2-b^2$ )

Формулы для n-ой степени

$~a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$
$~a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^2-\ldots-a^2b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})$ , где $n \in \mathbb{N}$
$~a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})$
$~a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^2-\ldots+a^2b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})$ , где $n \in \mathbb{N}$