Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона.

Данные формулы позволяют не только сократить промежуточные вычисления, но также они используются для разложения многочленов на множители, что, в свою очередь, существенно облегчает решение алгебраических уравнений.

Формулы для квадратов

Формулы для квадратов используются чаще всего.

  • (a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2
  • ~a^2-b^2=(a+b)(a-b)
  • \left( a + b + c \right)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc
  • \left(a-b-c\right)^2 = a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc

Формулы для кубов

  • (a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3
  • ~a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)
  • \left( a + b + c \right)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3ab^2 + 3ac^2 + 3b^2c + 3bc^2 + 6abc

Формулы для четвёртой степени

  • (a\pm b)^4=a^4\pm 4a^3b+6a^2b^2\pm 4ab^3+b^4
  • ~a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2) (выводится из a^2-b^2)

Формулы для n-ой степени

  • ~a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})
  • ~a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^2-\ldots-a^2b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1}), где n \in \mathbb{N}
  • ~a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})
  • ~a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^2-\ldots+a^2b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n}), где n \in \mathbb{N}

Некоторые свойства формул

  • ~(a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}, где n \in \mathbb{N}
  • ~(a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}, где n \in \mathbb{N}

Вернуться назад...

МЕТКИ >, , ,