Эмми Нётер. Королева без короны

День 23 марта 2015 года, в который написаны эти строки, является 133-м днём рождения Эмми (Амалии) Нётер (1882-1935). Об этой дате вспомнили и в корпорации Google, разместив на главной странице своей поисковой системы посвящённое ей изображение (дудл).

emmy-noethers-133rd-birthday

Эмми Нётер была удивительным математиком. Возможно, она была величайшей женщиной-математиком всех времён.  Так, Норберт Винер поместил Нётер в один ряд с лауреатом двух нобелевских премий Марией Кюри, которая, к слову, тоже была превосходным математиком. Гений Эмми Нётер по достоинству оценил и другой нобелевский лауреат Альберт Эйнштейн.

АЛЬБЕРТ ЭЙНШТЕЙН

По мнению наиболее выдающихся из числа ныне здравствующих математиков, Эмми Нётер была величайшим творческим математическим гением, явившимся миру с тех пор, как для женщин открылось высшее образование.

Общество

Эмми Нётер родилась в обществе, где женщины, можно сказать, были скованы по рукам и ногам. В то время в Германии правил всесильный кайзер Вильгельм II, любитель торжественных приёмов и церемоний, по сути исполнявший роль «свадебного генерала». Он приезжал в город, чинно спускался с поезда, а затем местный градоначальник произносил речь. Всей остальной работой занимался Железный Канцлер Отто фон Бисмарк. Он и был истинным главой государства и общества, вдохновителем его консервативной структуры, которая препятствовала обучению женщин. Образцом женщины была супруга кайзера, императрица Августа Виктория, жизненным кредо которой были четыре «К»: кайзер, Kinder (дети), Kirche (церковь), Küche (кухня) — дополненная версия трёх «К» из народной немецкой трилогии «Kinder, Küche, Kirche». В такой среде женщинам отводилась чётко выписанная роль: на социальной лестнице они находились ниже мужчин и на ступеньку выше домашних животных. Так, женщины не могли получить образование. Собственно, обучение женщин не было запрещено полностью — для родины Гёте и Бетховена это было бы слишком. Преодолев множество препятствий, женщины могли учиться, но не имели права занимать должностей. Итог был тем же самым, но игра — более тонкой. Некоторые преподаватели, демонстрируя особое идеологическое рвение, отказывались начинать занятия, если в аудитории присутствовала хотя бы одна женщина. Совершенно иначе дело обстояло, например, во Франции, где господствовали свобода и либерализм.

Детство и юность

Эмма Нётер родилась в небольшом городе Эрлангене, в семье преподавателей, принадлежавшей к верхушке среднего класса. Эрланген занимает необычное место в истории математики — он является малой родиной создателя так называемой «синтетической геометрии» Христиана фон Штаудта (1798-1867). Кроме того, именно в Эрлангене юный гений Феликс Клейн (1849-1925) обнародовал свою знаменитую Эрлангенскую программу, в которой классифицировал геометрии с точки зрения теории групп.

Отец Эмми, Макс Нётер, преподавал математику в Эрлангенском университете. Его интеллект унаследовали сын Франц, посвятивший жизнь прикладной математике, и дочь Эмми, которая напоминала гадкого утёнка из сказки Андерсена — никто даже предположить не мог, каких научных высот она достигнет. В детстве и юности Эмии ничем не отличалась от сверстников: ей очень нравилось танцевать, поэтому она охотно посещала все торжества. При этом девушка не проявляла особого интереса к музыке, что отличает её от других математиков, которые часто любят музыку и даже играют на разных инструментах. Эмми исповедовала иудаизм — в то время это обстоятельство было несущественным, но в дальнейшем сказалось на её судьбе.

За исключением редких проблесков гениальности обучение Эмми ничем не отличалось от обучения её сверстниц: она умела готовить и вести домашнее хозяйство, проявляла успехи в изучении французского и английского языков. Но в конце-концов, ко всеобщему удивлению, Эмми выбрала математику.

Научная карьера

Эмми имела всё необходимое для того, чтобы посвятить себя выбранному занятию: она знала математику, её семья могла выделять ей средства на жизнь (пусть и весьма скудные), а личное знакомство с коллегами отца позволяло ей рассчитывать на то, что учёба в университете не станет невыносимой.

Kollegienhaus_universitaet-erlangen

Здание Kollegienhaus — одного из старейших корпусов Эрлангенского университета

Чтобы продолжить обучение в университете, Эмми пришлось стать слушательницей — посещать занятия в качестве полноправного студента ей запрещалось. Она успешно окончила обучение и сдала экзамен, дававший ей право на получение докторской степени. В качестве темы диссертации Эмми выбрала алгебраические инварианты тернарных квадратичных форм. Преподавателем этой дисциплины был Пауль Гордан (1837-1912), которого современники называли «королём теории инвариантов». Он также был давним другом отца Нётер и сторонником конструктивной математики. В поисках алгебраических инвариантов Гордан превращался в настоящего бульдога: он вцеплялся в инвариант и не разжимал челюстей до тех пор, пока не выделял его среди хитросплетений расчётов, порой казавшихся бесконечными.

В докторской диссертации под названием «Об определении формальных систем тернарных биквадратичных форм» приведён 331 инвариант тернарных биквадратичных форм, найдённых Эмми. Работа принесла ей степень доктора и дала возможность вдоволь попрактиковаться в математической гимнастике. Этот тяжкий труд сама Эмми в порыве самокритики назвала чепухой. Она стала второй женщиной-доктором наук в Германии после Софьи Ковалевской.

Эмми получила должность преподавателя в Эрлангене, где проработала восемь лет, не получая никакого жалования. Порой ей выпадала честь замещать собственного отца — его здоровье к тому времени ослабело. Пауль Гордан вышел в отставку, его сменил Эрнст Фишер, который придерживался более современных взглядов и прекрасно ладил с Эмми. Именно Фишер познакомил её с трудами Гильберта.

К счастью, проницательность Нётер, её ум и знания заметили два светила Гёттингенского университета, «самого математического университета в мире». Этими светилами были Феликс Клейн и Давид Гильберт (1862-1943). Шёл 1915 год, Первая мировая война была в самом разгаре. И Клейн, и Гильберт отличались крайним либерализмом в вопросах обучения женщин (и их участии в исследовательской работе) и были специалистами высочайшего уровня. Они убедили Эмми покинуть Эрланген и переехать с ними в Гёттинген для совместной работы. В то время гремели революционные физические идеи Альберта Эйнштейна, а Эмми была экспертом по алгебраическим и прочим инвариантам, составлявшим крайне полезный математический аппарат теории Эйнштейна.

Всё это было бы смешно, если не было бы так грустно — даже поддержка таких авторитетов не помогла Эмми преодолеть сопротивление учёного совета Гёттингенского университета, от членов которого можно было услышать что-то в духе: «Что скажут наши героические солдаты, когда вернуться на родину, и в аудиториях им придётся сидеть перед женщиной, которая будет обращаться к ним с кафедры?».

Эмми так и не была избрана приват-доцентом. Учёный совет объявил ей настоящую войну. Конфликт вскоре прекратился, была провозглашена Веймарская республика, и положение женщин улучшилось: они получили право голосовать. А Эмми смогла занять должность приват-доцента (но без жалования), однако лишь в 1922 году, приложив огромные усилия, она наконец начала получать жалование за свой труд.

Эмми раздражало, что её работа на посту редактора журнала «Анналы математики», отнимавшая немало времени, не была оценена по достоинству.

Теорема Нётер

В 1918 году была опубликована сенсационная теорема Нётер. Многие называли её именно так, хотя Эмма доказала немало и других теорем, в том числе очень важных. Нётер заслужила бы бессмертие, даже если бы умерла на следующий день после публикации теоремы в 1918 году, хотя на самом деле она нашла доказательство тремя годами ранее. Эта теорема не относится к абстрактной алгебре и находится на стыке между физикой и математикой, точнее говоря, принадлежит к механике. К сожалению, чтобы её объяснить понятным для читателя языком, пусть даже в упрощённом виде, нельзя обойтись без высшей математики и физики.

Если говорить просто, без символов и уравнений, то теорема Нётер в наиболее общей формулировке гласит:

Если физическая система обладает непрерывной симметрией, то в ней найдутся соответствующие величины, которые сохраняют значение с течением времени.

Понятие непрерывной симметрии в физике объясняется с помощью групп Ли. Если не углубляться в детали, то можно сказать, что в физике под симметрией понимают любое изменение физической системы, относительно которого физические величины в системы являются инвариантными. Это изменение посредством математически непрерывного преобразования должно затрагивать системы координат, а рассматриваемая величина до и после преобразования должна оставаться неизменной.

Эта теорема Эмми Нётер вызвала множество хвалебных отзывов, в том числе от Эйнштейна, который писал Гильберту:

АЛЬБЕРТ ЭЙНШТЕЙН

Вчера я получил очень интересную статью госпожи Нётер о построении инвариантов. На меня производит впечатление то, что такие вещи можно рассматривать со столь общей точки зрения. Старой гвардии в Гёттингене не повредило бы, если бы её послали на обучение к госпоже Нётер. Похоже, она хорошо знает своё ремесло.

Похвала была заслуженной: теорема Нётер сыграла нетривиальную роль в решении задач общей теории относительности. Эта теорема, по мнению многих специалистов, является фундаментальной, а некоторые даже ставят её в один ряд с известной всем теоремой Пифагора.

Перенесёмся в простой и понятный мир экспериментов, описанный Карлом Поппером (1902-1994), и предположим, что мы создали новую теорию, описывающую новое физическое явление. По теореме Нётер, если в рамках нашей теории присутствует некая разновидность симметрии (предполагать подобное вполне разумно), то в системе будет сохраняться некоторая величина, которую можно измерить. Таким образом, можно определить, верна наша теория или нет.

Алгебра и ещё раз алгебра

Итак, как мы уже рассказали выше, Эмми Нётер обосновалась в Гёттингене рядом с Клейном и Гильбертом — двумя математиками мировой величины. Остроумный Гильберт нашёл способ преодолеть препятствия со стороны наиболее косных и консервативных преподавателей: он организовали курсы под своим именем, но на занятиях его всякий раз замещала Эмми, а недоброжелателям оставалось лишь скрежетать зубами.

Эмми отличалась невероятной работоспособностью — её можно было сравнить с автомобилем, у которого отказали тормоза. Постепенно, но неуклонно, Эмми стала уделять всё больше внимания вопросам чистой алгебры: сначала кольцам и идеалам колец, затем — более сложным структурам, в частности, различным алгебрам. Она настолько овладела темой, что вполне заслужила титул «властительницы колец». К этой эпохе относятся столь важные для развития алгебры результаты, как теорема Ласкера-Нётер (1921) и лемма о нормализации (1926). К 1927 году относятся её теоремы об изоморфизме.

Затем, практически сразу же, Эмми перешла к более сложным темам, в частности, к алгебрам. В 1931 году была сформулирована теорема Альберта-Брауэра-Хассе-Нётер об алгебрах конечной размерности. В 1933 году Эмми Нётер вновь получила важный результат, связанный с алгебрами, — так называемую теорему Сколема-Нётер.

За Эмми повсюду следовала настоящая толпа учеников — шумных, недисциплинированных, но очень умных. То были «дети Нётер», которые внимали её словам. Они сопровождали её во время длинных прогулок и частых купаний в муниципальном бассейне, где Эмми плавала и ныряла, словно дельфин. Многие из «детей Нётер» впоследствии стали великими математиками благодаря идеям, которые они почерпнули от наставницы, хотя её педагогический дар был, если можно так сказать, нестандартным: она относилась к ученикам как курица-наседка к цыплятам — была неизменно строгой и требовательной и не отходила от них ни на шаг. Многим она напоминала скорее петуха, чем курицу, и они называли её, проявляя уважение к её уму и некоторую робость, в мужском роде — Der Noether.

В то время нацисты установили повальную слежку, они вмешивались в частную жизнь людей и буквально осаждали университеты. Один из учеников Нётер, который был евреем и поэтому не мог посещать университет, приходил заниматься к ней в форме члена штурмового отряда, чтобы избежать подозрений. Пацифистка Эмми воспринимала происходящее со смирением.

Она занималась наиболее современными разделами алгебры. Время от времени Эмми обращалась к топологии, в частности в совместных работах с Павлом Сергеевичем Александровым (1896-1982). Специализацией Нётер было подробное изучение алгебраических структур, цель которого — отбросить их частные свойства и рассмотреть их в максимально общем виде. Эмма пользовалась безграничным авторитетом. К ней приезжали ученики со всех уголков Европы. Один из них, Бартель ван дер Варден (1903-1996), впоследствии прославившийся как автор «Современной алгебры», книги, ставшей каноном  для нескольких поколений, писал в некрологе Эмми Нётер:

БАРТЕЛЬ ЛЕЕНДЕРТ ВАН ДЕР ВАРДЕН

Для Эмми Нётер связи между числами, функциями и операциями становились ясными, доступными для обобщения и полезными только после того, как они были отделены от конкретных объектов и сведены к концептуальным связям общего вида.

А вот что писал Эйнштейн:

АЛЬБЕРТ ЭЙНШТЕЙН

Теоретическая математика — своего рода поэзия логичных идей. Её цель — поиск наиболее общих идей, которые в простом, логичном и общем виде описывают максимально возможный спектр формальных взаимосвязей. На этом пути к логической красоте мы и открываем формулы, позволяющие глубже постичь законы природы.

Нётеровы кольца

Большая часть научной работы Эмми Нётер была посвящена кольцам и идеалам — алгебраическим структурам, над которыми она работала многие годы. Почему это было так важно?

Дело в том, что многие объекты, с которыми работают математики, представляют собой кольца. Так, например, кольцами являются множество целых чисел \mathbb{Z} и его последовательные расширения — множество рациональных чисел \mathbb{Q}, множество действительных чисел \mathbb{R} и множество комплексных чисел \mathbb{C} (см. дополнительно статью «Числовые множества»).

Я не буду останавливаться на теории идеалов и колец, скажу лишь о том, что гениальность Нётер заключается в том, что она выстроила цепочку идеалов, объединённых функцией принадлежности \subset, которая отражает их делимость друг на друга. Так как любое отношение делимости рано или поздно заканчивается некоторым числом, то рано или поздно заканчивается любая цепочка идеалов. «Хорошие» цепочки идеалов обязательно заканчиваются, то есть являются конечными.

Кольца, на которых не существует бесконечных цепочек идеалов, называются нётеровыми кольцами. Именно этим кольцам Эмми Нётер уделяла особое внимание в своих исследованиях.

Конец истории

Не стоит и говорить, что уже в 1930-е годы Эмми Нётер пользовалась среди математиков невероятным уважением. Пример тому — её участие в Международном конгрессе 1932 года. На следующий год к власти в Германии пришли нацисты, и с огромной решительностью, которая могла сравниваться только с их же глупостью, принялись изгонять из университетов преподавателей-евреев. От антисемитизма пострадала и Эмми. Напрасно протестовали её друзья и знакомые — она и многие её коллеги (Томас Манн, Альберт Эйнштейн, Стефан Цвейг, Зигмунд Фрейд, Макс Борн и многие другие) были вынуждены прекратить преподавание в Германии и покинуть страну (как стало ясно позднее, такая счастливая возможность выпала далеко не всем), чтобы распространять свои «зловредные идеи» среди представителей других, неарийских рас. Что именно зловредного увидели нацисты в современной алгебре, мы уже никогда не узнаем. Вероятнее всего, нацисты сами не знали ответа на этот вопрос.

Брат Эмми, Фриц, совершив фатальную ошибку, переехал в Томск, а сама Эмми, которая некоторое время склонялась то к Оксфорду, то к Москве, но в конце-концов усилиями Фонда Рокфеллера оказалась в США.

Такой выбор — эмиграция в США, спас жизнь Эмми, что доказывает трагическая судьба её брата Фрица в СССР. В ноябре 1937 года Фриц Нётер был арестован в своём доме в Томске и 23 октября 1938 года приговорён к 25 годам лишения свободы по обвинению в шпионаже в пользу Германии. Оставшихся без родителей сыновей — Германа и Готфрида — в марте 1938 года выслали из СССР. В тюрьме Фриц был обвинён в «антисоветской пропаганде», 8 сентября 1941 года приговорён к смертной казни и расстрелян.

В США Эмми Нётер читала лекции и проводила семинары в Институте перспективных исследований в Принстоне. Основным местом работы Нётер стал расположенный недалеко от Нью-Джерси Бриин-Мор-колледж в штате Пенсильвания — лучший женский колледж мира. Иногда Эмми забывала, что находится в Америке, и в разгар спора о математике разражалась тирадами на немецком языке.

Спустя всего два года после приезда в Америку врачи обнаружили у Эмми рак. Она прекрасно перенесла операцию, но умерла от эмболии.

Интересно, что среди лавины некрологов один, за подписью ван дер Вардена, был без особых проблем опубликован в Германии — должно быть, нацистские цензоры не слишком хорошо разбирались в алгебре.

Именем Эмми Нётер также названы кратер на обратной стороне Луны и астероид под номером 7001.

Вернуться назад...

МЕТКИ >,