Татьяна Мельничук | Числовые множества

Числовые множества

Число — это основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.

Множество натуральных чисел

Натуральные числа — это числа, возникающие при естественном счёте. Множество натуральных чисел обозначается символом $\mathbb{N}$ . Иными словами, множество натуральных чисел — это множество $\mathbb{N}=\{1, 2, 3, \ldots\}$ .

Проблема нуля. Следует иметь в виду, что вопрос отнесения нуля к множеству натуральных чисел является нерешённой проблемой. Математикам всего мира так и не удалось договориться относительно того, следует ли включать $0$ в множество натуральных чисел, либо нет. Именно поэтому в математической литературе можно встретить также и такое определение множества натуральных чисел: $\mathbb{N}=\{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ . Однако, мы будем исходить из предположения, что $0$ не является элементом множества натуральных чисел.

Множество простых чисел

Крайне важным подмножеством множества $\mathbb{N}$ натуральных чисел является множество простых чисел $\mathbb{P}$ , для получения информации о котором я рекомендую обратиться к статье «Простые числа».

Множество целых чисел

Множество целых чисел — это объединение множества натуральных чисел с нулём и множеством чисел противоположных натуральным. Множество целых чисел обозначают символом $\mathbb{Z}$ . Таким образом, $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Z}=\mathbb{N}\cup\{0\}\cup\mathbb{N}_{-}$ .

Множество рациональных чисел

Рациональные числа — это числа, представимые в виде дроби $\displaystyle \frac{m}{n}$ , где $m\in\mathbb{Z}$ и $n\in\mathbb{N}$ . Множество рациональных чисел обозначают символом $\mathbb{Q}$ . Таким образом, $\mathbb{Q}=\left\{\displaystyle \frac{m}{n}\left|m\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{N}\right.\right\}$ . В силу определения имеем: $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$ .

Иными словами, рациональные числа и только они — это бесконечные периодические десятичные дроби. В силу того, что всякую конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической дробью с периодом нуль или девять, конечные десятичные дроби также являются элементами множества рациональных чисел.

Множество действительных чисел

Действительные (вещественные) числа — это числа, представляющие собой бесконечные десятичные дроби. Поскольку конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической дробью с периодом нуль или девять, то всякая конечная десятичная дробь в силу определения также является элементом множества действительных чисел. Множество действительных чисел обозначают символом $\mathbb{R}$ . Таким образом, $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ .

Множество иррациональных чисел

Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным, то есть число не представимое в виде дроби $\displaystyle \frac{m}{n}$ , где $m\in\mathbb{Z}$ и $n\in\mathbb{N}$ . Иррациональные числа и только они являются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Множество иррациональных чисел обозначается символом $\mathbb{I}$ . Таким образом, $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}$ .