Числовые множества

Число — это основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.

Множество натуральных чисел

Натуральные числа — это числа, возникающие при естественном счёте. Множество натуральных чисел обозначается символом \mathbb{N}. Иными словами, множество натуральных чисел — это множество \mathbb{N}=\{1, 2, 3, \ldots\}.

Проблема нуля. Следует иметь в виду, что вопрос отнесения нуля к множеству натуральных чисел является нерешённой проблемой. Математикам всего мира так и не удалось договориться относительно того, следует ли включать 0 в множество натуральных чисел, либо нет. Именно поэтому в математической литературе можно встретить также и такое определение множества натуральных чисел: \mathbb{N}=\{0, 1, 2, 3, \ldots\}. Однако, мы будем исходить из предположения, что 0 не является элементом множества натуральных чисел.

Множество простых чисел

Крайне важным подмножеством множества \mathbb{N} натуральных чисел является множество простых чисел \mathbb{P}, для получения информации о котором я рекомендую обратиться к статье «Простые числа».

Множество целых чисел

Множество целых чисел — это объединение множества натуральных чисел с нулём и множеством чисел противоположных натуральным. Множество целых чисел обозначают символом \mathbb{Z}. Таким образом, \mathbb{N}\subset\mathbb{Z} и \mathbb{Z}=\mathbb{N}\cup\{0\}\cup\mathbb{N}_{-}.

Множество рациональных чисел

Рациональные числа — это числа, представимые в виде дроби \displaystyle \frac{m}{n}, где m\in\mathbb{Z} и n\in\mathbb{N}. Множество рациональных чисел обозначают символом \mathbb{Q}. Таким образом, \mathbb{Q}=\left\{\displaystyle \frac{m}{n}\left|m\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{N}\right.\right\}. В силу определения имеем: \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}.

Иными словами, рациональные числа и только они — это бесконечные периодические десятичные дроби. В силу того, что всякую конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической дробью с периодом нуль или девять, конечные десятичные дроби также являются элементами множества рациональных чисел.

Множество действительных чисел

Действительные (вещественные) числа — это числа, представляющие собой бесконечные десятичные дроби. Поскольку конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической дробью с периодом нуль или девять, то всякая конечная десятичная дробь в силу определения также является элементом множества действительных чисел. Множество действительных чисел обозначают символом \mathbb{R}. Таким образом, \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.

Множество иррациональных чисел

Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным, то есть число не представимое в виде дроби \displaystyle \frac{m}{n}, где m\in\mathbb{Z} и n\in\mathbb{N}. Иррациональные числа и только они являются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Множество иррациональных чисел обозначается символом \mathbb{I}. Таким образом, \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}.

Вернуться назад...

МЕТКИ >, ,